费马（Pierre de Fermat，公元1601 年- 公元1665 年）是一位多产的数学家，曾担任公务员。他被称为最伟大的业余数学家，但人们普遍认为，即使是顶尖的职业数学家也不一定如他。
他最大的贡献就是解决了困扰人类358年的大问题：
著名的费马-怀尔斯定理说道：
当n 大于2 时，不存在正整数解。
这个问题的解决相当困难（见《费马大定理―一个困惑了世间智者 358 年的谜》
费马大定理的简单应用：
我们不能用尺子和圆规在平面上画画
, p 是素数。
此外，费马的贡献众多且多种多样，几乎涵盖了当时数学的所有领域，例如：导数和切线、最小值和极值点、方程和曲线、概率和统计。对了，还有著名的费马小定理：
其中p 是素数，a 是正整数。
也可以写成可整除的形式：
事实上，它是欧拉定理的一个特例。欧拉定理说：
a和n都是正整数，(n)是欧拉函数，表示与n互质的小于n的正整数的个数。
你可能不喜欢欧拉函数，但你喜欢欧拉复数！
不仅男生喜欢，女生也喜欢！
费马小定理之所以在数论中重要，是因为它是数论中仅有的两个素性决定定理之一，另一个是威尔逊定理，即：
当且仅当p 是质数：( p -1 )！ -1 ( mod p ),
事实上，这个定理最早出现在莱布茨的研究中。它为判断一个自然数是否为素数提供了充要条件。但由于阶乘呈爆发式增长，计算量并不是一般的大，甚至比古代的筛法还要大。那么谁会使用这种方法来确定素数呢？
现在最古老、最困难的问题之一是素数公式。如果不考虑时间，下面的“素数公式”可以计算出所有素数：
[ ]代表高斯函数。这样计算出来的结果都是素数。如果你不相信我，你试试？
证明费马小定理很难吗？如果你想使用同余理论，这并不太困难。它只需要一些引理，例如二次余数等。为了简单易懂，先说一下大概的思路吧！
例如：
选择任何素数，例如11。考虑一系列从1 到10、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 的整数。将这些数字乘以与11、如3，得到3、6、9、12、15、18、21、24、27、30。对11 求模，这些数字与3,6,9,1,4,7,10,2,5,8 相等。这些余数实际上就是原来的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，只是顺序不同。
乘以1,2,3,…,10，结果就是10, 10 的阶乘！将所有3, 6, 9,30 相乘并提取公因数3。乘积为
对于模11，两个乘积都与级数1,2,3,…,10 一致，尽管顺序不是一一对应的，即31210！等于10！ （模11）。
两边除以10！必须
如果我们用p 代替11，用a 代替3，我们就得到了费马小定理。
那么，这个证明非常简单，对吧？
如果你不知道一致性，那也没关系。你总是知道数字减少，这是多米诺骨牌效应的数学归纳法。
，下面通过数值约简的方法证明（这里a是数值约简，p不能数值约简，因为p不具有连续性），但是需要注意的是，使用数值约简的第一步是验证当a=1,2成立，然后假设a=k成立，最后推导出a=k+1时也成立。有时有人说当a=1时显然为真。在这里，显然a=1 成立，但是a=2 也成立吗？有一点很重要，这里a=1成立，并且有其特殊性（值为0）。那么从a=1到a=2的递归与从a=2到a=3的递归有本质的区别。
由于a=2不明显，我们来证明一下：
当a=2时，
由于P 是素数，显然
那么我们知道命题a=2为真；
假设a=k，则命题成立，即
那么有
由上述假设
而且很容易看到
那你就知道
这表明当a=k+1时命题也成立。根据归纳原理，该命题对于所有自然数a都成立。
应用组合理论，费马小定理还有如下证明。这个证明可以想象为项链证明：
有n种不同颜色的珠子，每种珠子的数量是足够的。我们首先将这些珠子串成所有可能的由p珠组成的直串。然后将这些直绳的两端连接起来，形成一条项链。通过这种方式获得了许多不同的项链。还有很多是一模一样的。现在数一下各种项链的数量。
首先，将一根直绳绕在上面，形成一条项链。从上到下、从下到上环绕。珠子的循环顺序正好相反（如图1）
如果旋转一条项链得到另一条项链，那么这两条项链显然是相同的。然而，如果一条项链必须翻转才能旋转成另一条项链，那么这两条项链（比如2条）就不一样了·
由于直绳项链的制作方法不同，得到的项链也不同，所以我们规定所有直绳项链的制作方法必须相同，例如从下到上或从上到下。因为直串中的每颗p 珠子都可以选择n 种不同的颜色。所以总共有
有n条由不同直绳和p珠组成的单色项链。每一条这样的项链在旋转后都不会改变，除了这n条单色项链。其余的
多种颜色的直绳。只有形成项链，才会出现同样的东西。
取任意一条项链N，在相邻两颗珠子之间的p个位置处剪断，则得到一条直串
（如图3，圆弧上的短线记录了切口）
现在，我们知道这些字符串彼此不同。如果没有的话，有两个
是一样的。与这些直线对应的切口
之间的数字为d（如图4）
如果将一条N 型项链放在另一条N 型项链上，则上下珠子的颜色将完全相同。然后将上项链翻到d珠上，使上切口与下切口重合。
那么由于
完全一样。所以上面和下面的珠子还是一模一样的。
可以看出，在项链N上，转动d珠子并不会改变珠子的配色。因此，项链N上，每颗珠子的颜色一定与从开始转动d珠子起的珠子颜色相同。珠子是一样的。如果d=1，则所有珠子颜色相同，不考虑这条单色项链。所以d1，并且由于d 是两个切口之间的珠子数量，dp。
由于p是素数，1dp，d不能整除p，所以p=qd+r,0rd。因为将项链N旋转一整圈的结果仍然是项链本身，而d颗珠子旋转的结果也是项链N，所以连续q次旋转d颗珠子，然后旋转r颗珠子被执行。结果A完整的旋转完成了，所以r个珠子旋转后，N依然变成了自己。
因此，项链N上每颗r-1珠子的颜色一定是相同的。由于N不是单色项链。所以r1，即1rdp，同样可以看出。有一个更小的整数
具有相同的性质，重复这个论证会得出这样的结论：1到p之间存在多个整数，这是不可能的。所以我们证明了p 直弦
彼此不同。
这样，直串和项链之间就存在p对1的对应关系。也就是说，p条不同的直绳组成的P条项链实际上是同一条项链。因此，不同的项链
由于这是一个整数，所以
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用户评论
小时候学过Fermat小定理，当时就觉得这个定理真神奇。
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数学的奥妙之处在于它能用简洁的公式概括复杂的现象，Fermat小定理就是一例。真是美妙！
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感觉很多看似简单的数学问题背后都隐藏着深邃的道理，就像Fermat的小定理一样。
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这个标题很吸引我，我一直很好奇Fermat小定理背后的故事。
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费马大定理是大家耳熟能详的，但我也想了解一下它的基础版-Fermat小定理!
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要理解更高深的问题，基础知识一定得打牢！比如Fermat小定理这种入门级数学题。
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对数论感兴趣的人应该都对Fermat小定理有一定了解吧？
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希望这个帖子能详细讲一讲Fermat小定理的推导过程，我是真的比较好奇！
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看完标题就想起高中学过的数学知识了，好怀念那时候...
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学习学习Fermat小定理，提升一下我的数学水平！
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费马的小定理这个数学原理太厉害啦，感觉能应用到很多地方
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一直想弄明白Fermat小定理的奥妙之处，有机会要好好读读相关文献
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数学果然很有趣啊！
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学习数学的过程真是充满挑战和乐趣。比如学习Fermat小定理的过程
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希望这个帖子能让我对Fermat小定理有更深入的理解
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Fermat小定理是基础，奠基知识最重要！
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数学博弈游戏太精彩了！
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学习数学，需要的是逻辑思维和耐心!
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